Etre ou ne pas être… une somme de carrés
On appelle « nombres de Bob » les entiers strictement positifs qui peuvent s’écrire comme somme d’un ou plusieurs carrés, distincts deux à deux. Ainsi, 35 = 25 + 9 + 1 = 52 + 32 + 12 est un nombre de Bob.
1. Quels sont tous les nombres de Bob compris entre 1 et 35 ?
Alice s’intéresse, quant à elle, aux entiers positifs qui ne sont pas des nombres de Bob, qu'on appellera les « nombres d’Alice ».
2. Quelles sont les puissances de 2 qui en font partie ?
Bob a réalisé un programme informatique qui vérifie si un entier est un nombre de Bob. Il constate que c’est en particulier le cas de tous les nombres compris entre 129 et 324. Il en informe Alice, qui déclare : « Je pense que les nombres qui portent mon nom sont en nombre fini. »
3. A-t-elle raison ? Si oui, quel est le plus grand des nombres d’Alice ?